Analysis Beispiele

$\arctan (e^{2 x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = e^{2 x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{1 + {(e^{2 x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{1 + e^{4 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{4 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{1 + e^{4 x}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{1 + e^{4 x}}$ .

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \cdot 1$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$ mit $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$