Analysis Beispiele

$\cos (x \sin (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x \sin (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x \sin (x)$ .

$- \sin (x \sin (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$- \sin (x \sin (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- \sin (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- \sin (x \sin (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sin (x \sin (x)) (x \cos (x)) - \sin (x \sin (x)) \sin (x)$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$- x \cos (x) \sin (x \sin (x)) - \sin (x) \sin (x \sin (x))$