Analysis Beispiele

$\int (2 x) e^{4 x} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int (x) e^{4 x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{4 x}$ .

$2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Schritt 5

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 5.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Schritt 6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Schritt 10

Schreibe $2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ als $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ um.

$2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{x}{4}$ und $e^{4 x}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Schritt 12.1.3

Kombiniere $e^{4 x}$ und $\frac{1}{16}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 12.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 12.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Schritt 12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{4 x}}{16}$ in den Zähler.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Schritt 12.4.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

Schritt 12.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Schritt 12.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

Schritt 12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$