Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} + \sqrt[5]{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} + \sqrt[5]{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$