Analysis Beispiele

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Schritt 1

Schreibe

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ als Gleichung.

y = e^{2 x - 1}

$y = e^{2 x - 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

x = e^{2 y - 1}

$x = e^{2 y - 1}$

Schritt 3

Löse nach

y

$y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$ um.

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

ln (e^{2 y - 1}) = ln (x)

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Schritt 3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.3.1

Zerlege

ln (e^{2 y - 1})

$\ln (e^{2 y - 1})$ durch Herausziehen von

2 y - 1

$2 y - 1$ aus dem Logarithmus.

(2 y - 1) ln (e) = ln (x)

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Schritt 3.3.2

Der natürliche Logarithmus von

e

$e$ ist

1

$1$ .

(2 y - 1) \cdot 1 = ln (x)

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere

2 y - 1

$2 y - 1$ mit

1

$1$ .

2 y - 1 = ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

2 y - 1 = ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

Schritt 3.4

Addiere

1

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ durch

2

$2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ durch

2

$2$ .

\frac{2 y}{2} = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{2 y}{2} = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere

y

$y$ durch

1

$1$ .

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Ersetze

y

$y$ durch

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

f^{- 1} (x) = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob

f^{- 1} (x) = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne

f^{- 1} (e^{2 x - 1})

$f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von

f

$f$ in

f^{- 1}

$f^{- 1}$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um

2 x - 1

$2 x - 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) ln (e) + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von

e

$e$ ist

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere

2 x - 1

$2 x - 1$ mit

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

2 x - 1 + 1

$2 x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere

- 1

$- 1$ und

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere

2 x

$2 x$ und

0

$0$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2})

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von

f^{- 1}

$f^{- 1}$ in

f

$f$ .

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Schreibe

\frac{ln (x)}{2}

$\frac{\ln (x)}{2}$ als

\frac{1}{2} ln (x)

$\frac{1}{2} \ln (x)$ um.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Vereinfache

\frac{1}{2} ln (x)

$\frac{1}{2} \ln (x)$ , indem du

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 5.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache

2 ln (x^{\frac{1}{2}})

$2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ , indem du

2

$2$ in den Logarithmus ziehst.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.5.1

Multipliziere die Exponenten in

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Schritt 5.3.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 5.3.3.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Schritt 5.3.3.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x^{1}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x^{1}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x^{1}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Schritt 5.3.3.5.2

Vereinfache.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

ln (x) + 1 - 1

$\ln (x) + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere

1

$1$ von

1

$1$ .

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x) + 0}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Schritt 5.3.4.2

Addiere

ln (x)

$\ln (x)$ und

0

$0$ .

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x)}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x)}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Schritt 5.3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Schritt 5.4

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ und

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist

f^{- 1} (x) = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ .

f^{- 1} (x) = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

f^{- 1} (x) = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$