Analysis Beispiele

$f (x) = (\frac{3 e^{x}}{e^{x} - 19})$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\frac{3 e^{x}}{e^{x} - 19}$

Schritt 2

Setze den Nenner in $\frac{3 e^{x}}{e^{x} - 19}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$e^{x} - 19 = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $19$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = 19$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (19)$

Schritt 3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (19)$

Schritt 3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (19)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (19)$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \ln (19)) \cup (\ln (19), \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \ln (19)}$

Schritt 5

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y < 0, y > 3}$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \ln (19)) \cup (\ln (19), \infty), {x | x \neq \ln (19)}$

Wertebereich: $(- \infty, 0) \cup (3, \infty), {y | y < 0, y > 3}$

Schritt 7