Analysis Beispiele

$e^{2 x} = \sin (x + 3 y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{2 x}) = \frac{d}{d x} (\sin (x + 3 y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x + 3 y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3 y$ .

$\cos (x + 3 y) \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\cos (x + 3 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 3.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 e^{2 x} = \cos (x + 3 y) (1 + 3 y')$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ um.

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ durch $\cos (x + 3 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ durch $\cos (x + 3 y)$ .

$\frac{\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')}{\cos (x + 3 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x + 3 y)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')}{\cos (x + 3 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $1 + 3 y'$ durch $1$ .

$1 + 3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kombinieren.

$y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 3 y) \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.4.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y) \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.4.3.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (x + 3 y)$ .

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \cos (x + 3 y)} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.4.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cos (x + 3 y)} - \frac{1}{3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cos (x + 3 y)} - \frac{1}{3}$