Analysis Beispiele

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} - 2 x y) = \frac{d}{d x} (6 x + y + 1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{3} - 2 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y') - 2 y$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + y + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 + y' + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 + y' + 0$

Schritt 3.5

Addiere $6 + y'$ und $0$ .

$6 + y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y = 6 + y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y - y' = 6$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 y^{3} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - 2 y - y' = 6 - 2 y^{3} x$

Schritt 5.2.2

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 x^{2} y^{2} y'$ heraus.

$y' (3 x^{2} y^{2}) - 2 x y' - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x y'$ heraus.

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x) - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x) + y' \cdot - 1 = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x)$ heraus.

$y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x) + y' \cdot - 1 = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$ durch $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$ durch $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ .

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} - \frac{2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{6 - 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{6 - 2 y^{3} x + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $2$ aus $6 - 2 y^{3} x + 2 y$ heraus.

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Schritt 5.4.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y' = \frac{2 \cdot 3 - 2 y^{3} x + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 5.4.3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{3} x$ heraus.

$y' = \frac{2 \cdot 3 + 2 (- y^{3} x) + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 5.4.3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3 + 2 (- y^{3} x)$ heraus.

$y' = \frac{2 \cdot (3 - y^{3} x) + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 5.4.3.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot (3 - y^{3} x) + 2 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (3 - y^{3} x + y)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 - y^{3} x + y)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$