Analysis Beispiele

${(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}} = x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 11 x + 3 y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $11 x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $11 x + 3 y$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Schritt 2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Schritt 2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Schritt 2.6.3

Bringe ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $11 x + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.8

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.12

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$ um.

$(11 + 3 y') \frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $11 + 3 y'$ mit $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} = 2 x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}) = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$11 + 3 y' = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.2.1.1.4

Stelle $11$ und $3 y'$ um.

$3 y' + 11 = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 y' + 11 = 2 \cdot 3 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 y' + 11 = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ durch $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{- 11}{3}$

Schritt 5.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{- 11}{3}$

Schritt 5.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{- 11}{3}$

Schritt 5.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{- 11}{3}$

Schritt 5.3.2.3.1.2.4

Dividiere $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ durch $1$ .

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 11}{3}$

Schritt 5.3.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - \frac{11}{3}$

Schritt 5.3.2.3.2

Um $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{11}{3}$

Schritt 5.3.2.3.3

Kombiniere $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{11}{3}$

Schritt 5.3.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 11}{3}$

Schritt 5.3.2.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$