Analysis Beispiele

$x^{2} y + 2 x^{3} y = x + y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 2 x^{3} y) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y + 2 x^{3} y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Schritt 2.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3} y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Schritt 2.3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + 3 y x^{2})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y') + 2 (3 y x^{2})$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 x^{3} y' + 6 y x^{2}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y = 1 + y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 1$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 1 - 2 x y$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $6 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' + 2 x^{3} y' - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y' + 2 x^{3} y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$y' x^{2} + 2 x^{3} y' - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 x^{3} y'$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (2 x^{3}) - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (x^{2}) + y' (2 x^{3}) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{2}) + y' (2 x^{3})$ heraus.

$y' (x^{2} + 2 x^{3}) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{2} + 2 x^{3}) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (x^{2} + 2 x^{3} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$ durch $2 x^{3} + x^{2} - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$ durch $2 x^{3} + x^{2} - 1$ .

$\frac{y' (2 x^{3} + x^{2} - 1)}{2 x^{3} + x^{2} - 1} = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{3} + x^{2} - 1$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x^{3} + x^{2} - 1)}{2 x^{3} + x^{2} - 1} = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Schritt 5.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Schritt 5.5.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.5.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 - 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Schritt 5.5.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 - 2 x y - 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x y - 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$