Analysis Beispiele

$16 e^{y} = x^{4} - y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (16 e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 e^{y}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$16 (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$16 (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$16 e^{y} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 x^{3} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 x^{3} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x^{3} - (3 y^{2} y')$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 x^{3} - 3 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$16 e^{y} y' = 4 x^{3} - 3 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $16 e^{y} y'$ um.

$16 y' e^{y} = 4 x^{3} - 3 y^{2} y'$

Schritt 5.2

Addiere $3 y^{2} y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 y' e^{y} + 3 y^{2} y' = 4 x^{3}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $16 y' e^{y} + 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $16 y' e^{y}$ heraus.

$y' (16 e^{y}) + 3 y^{2} y' = 4 x^{3}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (16 e^{y}) + y' (3 y^{2}) = 4 x^{3}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (16 e^{y}) + y' (3 y^{2})$ heraus.

$y' (16 e^{y} + 3 y^{2}) = 4 x^{3}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (16 e^{y} + 3 y^{2}) = 4 x^{3}$ durch $16 e^{y} + 3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (16 e^{y} + 3 y^{2}) = 4 x^{3}$ durch $16 e^{y} + 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (16 e^{y} + 3 y^{2})}{16 e^{y} + 3 y^{2}} = \frac{4 x^{3}}{16 e^{y} + 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16 e^{y} + 3 y^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (16 e^{y} + 3 y^{2})}{16 e^{y} + 3 y^{2}} = \frac{4 x^{3}}{16 e^{y} + 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{16 e^{y} + 3 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3}}{16 e^{y} + 3 y^{2}}$