Analysis Beispiele

$\cos (2 y) = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 y$ .

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 \sin (2 y) y'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (2 y) y' = 1$ durch $- 2 \sin (2 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (2 y) y' = 1$ durch $- 2 \sin (2 y)$ .

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (2 y)$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)}$

Schritt 5.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (2 y)}$ nach $\csc (2 y)$ um.

$y' = \frac{1}{- 2} \csc (2 y)$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{2} \csc (2 y)$

Schritt 5.3.4

Kombiniere $\csc (2 y)$ und $\frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\csc (2 y)}{2}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (2 y)}{2}$