Analysis Beispiele

cos (2 y) = x

$\cos (2 y) = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

\frac{d}{d x} (cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)

$\frac{d}{d x} (\cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = \cos (x)$ und

$g (x) = 2 y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von

$\cos (u)$ nach

$u$ ist

$- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle

$u$ durch

$2 y$ .

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.2.1

$2$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$2 y$ nach

$x$ gleich

$2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Schreibe

$\frac{d}{d x} [y]$ als

$y'$ um.

$- 2 \sin (2 y) y'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$ durch

$- 2 \sin (2 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$ durch

$- 2 \sin (2 y)$ .

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$- 2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$\sin (2 y)$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere

$y'$ durch

$1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)}$

Schritt 5.3.2

Wandle von

$\frac{1}{\sin (2 y)}$ nach

$\csc (2 y)$ um.

$y' = \frac{1}{- 2} \csc (2 y)$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{2} \csc (2 y)$

Schritt 5.3.4

Kombiniere

$\csc (2 y)$ und

$\frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\csc (2 y)}{2}$

Schritt 6

Ersetze

$y'$ durch

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (2 y)}{2}$