Analysis Beispiele

$\cos (y^{2}) + x = e^{y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos (y^{2}) + x) = \frac{d}{d x} (e^{y})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (y^{2}) + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y^{2}$ .

$- \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- \sin (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \sin (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- \sin (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \sin (y^{2}) (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin (y^{2}) (y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (y^{2}) (y y') + 1$

Schritt 2.3.2

Stelle die Terme um.

$- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{y} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1 = e^{y} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1$ um.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 = e^{y} y'$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{y} y'$ um.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 = y' e^{y}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $y' e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 - y' e^{y} = 0$

Schritt 5.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) - y' e^{y} = - 1$

Schritt 5.5

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y' \sin (y^{2}) - y' e^{y}$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y' \sin (y^{2})$ heraus.

$y' (- 2 y \sin (y^{2})) - y' e^{y} = - 1$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' e^{y}$ heraus.

$y' (- 2 y \sin (y^{2})) + y' (- 1 e^{y}) = - 1$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 y \sin (y^{2})) + y' (- 1 e^{y})$ heraus.

$y' (- 2 y \sin (y^{2}) - 1 e^{y}) = - 1$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 e^{y}$ als $- e^{y}$ um.

$y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$

Schritt 5.7

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$ durch $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$ durch $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ .

$\frac{y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y})}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}} = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ .

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Schritt 5.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y})}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}} = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Schritt 5.7.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Schritt 5.7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y \sin (y^{2})$ heraus.

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2})) - e^{y}}$

Schritt 5.7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{y}$ heraus.

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2})) - (e^{y})}$

Schritt 5.7.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y \sin (y^{2})) - (e^{y})$ heraus.

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})}$

Schritt 5.7.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.7.3.5.1

Schreibe $- (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})$ als $- 1 (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})$ um.

$y' = - \frac{1}{- 1 (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})}$

Schritt 5.7.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Schritt 5.7.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Schritt 5.7.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$ mit $1$ .

$y' = \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$