Analysis Beispiele

$u = v^{2} \sqrt{8 v - 3}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 u' - 3}$ als ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = {u'}^{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $u$ nach $u'$ ist $u'$ .

$u'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ gleich $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ ist mit $f (u') = {u'}^{2}$ und $g (u') = {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ ist $f' (g (u')) g' (u')$ , mit $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ und $g (u') = 8 u' - 3$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 u' - 3$ .

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 u' - 3$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} (\frac{{(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(8 u' - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und ${u'}^{2}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [8 u' - 3] + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 u' - 3$ nach $u'$ $\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 3]$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [8 u'] + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.9

Da $8$ konstant bezüglich $u'$ ist, ist die Ableitung von $8 u'$ nach $u'$ gleich $8 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ gleich $n {u'}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d v} [- 3]) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.12

Da $- 3$ konstant bezüglich $u'$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $u'$ gleich $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.13.1

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.13.2

Kombiniere $\frac{{u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und $8$ .

$\frac{{u'}^{2} \cdot 8}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.13.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von ${u'}^{2}$ .

$\frac{8 \cdot {u'}^{2}}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.13.4

Faktorisiere $2$ aus $8 {u'}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 {u'}^{2})}{2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ gleich $n {u'}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

Schritt 4.16

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} u'$

Schritt 4.17

Vereinige $\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2 {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} u'$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 4.17.1

Bewege ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.17.2

Um $2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18

Multipliziere ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.18.1

Bewege ${(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' ({(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' {(8 u' - 3)}^{1}}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.19

Vereinfache $2 u' {(8 u' - 3)}^{1}$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20

Vereinfache.

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Schritt 4.20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 u' (8 u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.20.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.20.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 u' u' + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.1.2

Multipliziere $u'$ mit $u'$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.20.2.1.2.1

Bewege $u'$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 (u' u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.1.2.2

Mutltipliziere $u'$ mit $u'$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 2 \cdot 8 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{4 {u'}^{2} + 16 {u'}^{2} - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.2

Addiere $4 {u'}^{2}$ und $16 {u'}^{2}$ .

$\frac{20 {u'}^{2} - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.3

Faktorisiere $2 u'$ aus $20 {u'}^{2} - 6 u'$ heraus.

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Schritt 4.20.3.1

Faktorisiere $2 u'$ aus $20 {u'}^{2}$ heraus.

$\frac{2 u' (10 u') - 6 u'}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.3.2

Faktorisiere $2 u'$ aus $- 6 u'$ heraus.

$\frac{2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 3}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.3.3

Faktorisiere $2 u'$ aus $2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 3$ heraus.

$\frac{2 u' (10 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$u' = \frac{2 u' (10 u' - 3)}{{(8 u' - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

Keine Lösung

Schritt 7

Ersetze $u'$ durch $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v}$