Analysis Beispiele

$y = 5 x^{2} e^{3 x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} e^{3 x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} e^{3 x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{3 x}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$5 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$5 (x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x))$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 (x^{2} (e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 e^{3 x} x$

Schritt 3.5.3

Stelle die Terme um.

$15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$

Schritt 3.5.4

Stelle die Faktoren in $15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$ um.

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$