Analysis Beispiele

$x \cos (y) = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ um.

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\cos (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ durch $- x \sin (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ durch $- x \sin (y)$ .

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

Schritt 5.3.3.2

Separiere Brüche.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 5.3.3.3

Wandle von $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ nach $\cot (y)$ um.

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

Schritt 5.3.3.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\cot (y)$ .

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$