Analysis Beispiele

$15 x = 15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (15 x) = \frac{d}{d x} (15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$15 \cdot 1$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$15$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 y$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [y]$ .

$15 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$15 y' + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$15 y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$15 y' + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$15 y' + 5 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$15 y' + 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} y')$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y'$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$15 = 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$ um.

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Schritt 5.2

Faktorisiere $15 y'$ aus $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $15 y'$ aus $15 y^{2} y'$ heraus.

$15 y' y^{2} + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $15 y'$ aus $15 y^{4} y'$ heraus.

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' = 15$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $15 y'$ aus $15 y'$ heraus.

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' \cdot 1 = 15$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $15 y'$ aus $15 y' y^{2} + 15 y' y^{4}$ heraus.

$15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1 = 15$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $15 y'$ aus $15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1$ heraus.

$15 y' (y^{2} + y^{4} + 1) = 15$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$15 y' (y^{4} + y^{2} + 1) = 15$

Schritt 5.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $y^{4} + y^{2} + 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.4.1.1

Forme den mittleren Term um.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1) = 15$

Schritt 5.4.1.2

Ordne Terme um.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2}) = 15$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$15 y' ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2}) = 15$

Schritt 5.4.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y^{2} + 1$ und $b = y$ .

$15 y' ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Schritt 5.4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1.5.1

Stelle die Terme um.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Schritt 5.4.1.5.2

Stelle die Terme um.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)) = 15$

Schritt 5.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ durch $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ durch $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ .

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + y + 1$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Schritt 5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Schritt 5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - y + 1$ .

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Schritt 5.5.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Schritt 5.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$