Analysis Beispiele

$x^{4} + y^{4} = a^{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d a} (x^{4} + y^{4}) = \frac{d}{d a} (a^{4})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + y^{4}$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [x^{4}] + \frac{d}{d a} [y^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [x^{4}] + \frac{d}{d a} [y^{4}]$

Schritt 2.1.2

Da $x^{4}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $x^{4}$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [y^{4}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d a} [y^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = a^{4}$ und $g (a) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d a} [y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 + 4 u^{3} \frac{d}{d a} [y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$0 + 4 y^{3} \frac{d}{d a} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d a} [y]$ als $y'$ um.

$0 + 4 y^{3} y'$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $4 y^{3} y'$ .

$4 y^{3} y'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 a^{3}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 y^{3} y' = 4 a^{3}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{3} y' = 4 a^{3}$ durch $4 y^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{3} y' = 4 a^{3}$ durch $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{4 a^{3}}{4 y^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{4 a^{3}}{4 y^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{4 a^{3}}{4 y^{3}}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{4 a^{3}}{4 y^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 a^{3}}{4 y^{3}}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 a^{3}}{4 y^{3}}$

Schritt 5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{a^{3}}{y^{3}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d a}$ .

$\frac{d y}{d a} = \frac{a^{3}}{y^{3}}$