Analysis Beispiele

$y = e^{\tan (π t)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{\tan (π t)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = \tan (π t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (π t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [\tan (π t)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [\tan (π t)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (π t)$ .

$e^{\tan (π t)} \frac{d}{d t} [\tan (π t)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \tan (t)$ und $g (t) = π t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $π t$ .

$e^{\tan (π t)} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d t} [π t])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{\tan (π t)} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [π t])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $π t$ .

$e^{\tan (π t)} (\sec^{2} (π t) \frac{d}{d t} [π t])$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $π$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $π t$ nach $t$ gleich $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) (π \cdot 1)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) π$

Schritt 3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) π$ um.

$π e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = π e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = π e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t)$