Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x}{x - 3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{x - 3})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{x - 3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$4 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.6.4.1

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$4 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Schritt 3.3.6.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.5

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.6.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{- 12}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.6.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$