Analysis Beispiele

$y = \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4

Multipliziere.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin (x) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.6

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.9

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.10.3.1.2

Schreibe $- 1 \cos (x)$ als $- \cos (x)$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.10.3.1.3

Multipliziere $- - \cos (x)$ .

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Schritt 3.10.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.10.3.1.3.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.10.3.1.4

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 3.10.3.1.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.10.3.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.10.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.10.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.10.3.2

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.10.3.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$