Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2}}{3 x - 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{3 x - 1})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $3 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.8.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (3 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (3 x) - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 2}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot - 2$ heraus.

$\frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$