Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 8 x + 3}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 8 x + 3$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 3] - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 8 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.6

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8 + 0) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.10

Addiere $2 x + 8$ und $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Schritt 4.12

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Schritt 4.13

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Schritt 4.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Schritt 4.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Schritt 4.15.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Schritt 4.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Schritt 4.17

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Schritt 4.18

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 8) - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19

Vereinfache.

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Schritt 4.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - (x^{2} + 8 x + 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + (- x^{2} - (8 x) - 1 \cdot 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.19.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.19.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.19.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.19.4.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.2.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.19.4.1.4.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.4.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 8 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.19.4.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.8

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.9

Kombiniere $x$ und $\frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.10

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x \cdot - 4 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.11

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.19.4.1.11.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.11.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 4.19.4.1.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.11.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.11.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.12

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.14

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.2

Um $2 x^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.3

Kombiniere $2 x^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.19.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.19.4.5.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 4.19.4.5.1.1.1

Bewege $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.5.1.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) - x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.5.1.1.3

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $- x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.5.1.1.4

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2 - 1)}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} (4 - 1)}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.5.1.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.4.6

Subtrahiere $4 x^{\frac{1}{2}}$ von $8 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.5

Vereine die Terme

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Schritt 4.19.5.1

Mutltipliziere $\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.19.5.2

Kombinieren.

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 4.19.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 4.19.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.19.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 4.19.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 4.19.5.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 4.19.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.5.7

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.5.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.5.9

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.5.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.19.5.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Schritt 4.19.5.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.5.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.5.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.19.6.1

Um $8 x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.19.6.3.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.19.6.3.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.3.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{\frac{2}{2}} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.3.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x^{1} - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.3.2

Vereinfache $8 x^{1}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.4

Um $3 x^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.19.6.6.1

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.19.6.6.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.6.1.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{4}{2}} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.6.1.5

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} + 8 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.19.6.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 4.19.6.6.2.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{\frac{3 x^{2} + 8 (x) - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.6.2.1.2

Schreibe $8$ um als $- 1$ plus $9$

$\frac{\frac{3 x^{2} + (- 1 + 9) x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 x^{2} - 1 x + 9 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.19.6.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{\frac{(3 x^{2} - 1 x) + 9 x - 3}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{\frac{x (3 x - 1) + 3 (3 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.6.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$\frac{\frac{(3 x - 1) (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 4.19.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(3 x - 1) (x + 3)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 4.19.8

Kombinieren.

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Schritt 4.19.9

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.19.9.1

Bewege $x$ .

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.19.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.19.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.19.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.19.9.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.19.9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.19.9.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{(3 x - 1) (x + 3) \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.19.10

Mutltipliziere $(3 x - 1) (x + 3)$ mit $1$ .

$\frac{(3 x - 1) (x + 3)}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.19.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{(3 x - 1) (x + 3)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{(3 x - 1) (x + 3)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x - 1) (x + 3)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$