Analysis Beispiele

$y = {(4 x - 5)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x - 5)}^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(4 x - 5)}^{2}$ als $(4 x - 5) (4 x - 5)$ um.

$\frac{d}{d x} [(4 x - 5) (4 x - 5)]$

Schritt 3.2

Multipliziere $(4 x - 5) (4 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x - 5) - 5 (4 x - 5)]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x - 5)]$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5]$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5]$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5]$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5]$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot - 5 - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5]$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 20 x - 5 (4 x) - 5 \cdot - 5]$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 20 x - 20 x - 5 \cdot - 5]$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 20 x - 20 x + 25]$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $20 x$ von $- 20 x$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 40 x + 25]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{2} - 40 x + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 40 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 40 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 3.5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 40 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 40 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$32 x + \frac{d}{d x} [- 40 x] + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 3.8

Da $- 40$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 40 x$ nach $x$ gleich $- 40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 x - 40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$32 x - 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 40$ mit $1$ .

$32 x - 40 + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 3.11

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$32 x - 40 + 0$

Schritt 3.12

Addiere $32 x - 40$ und $0$ .

$32 x - 40$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 32 x - 40$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 32 x - 40$