Analysis Beispiele

$\ln (9 y) = e^{y} \sin (5 x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\ln (9 y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (5 x))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 9 y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $9 y$ .

$\frac{1}{9 y} \frac{d}{d x} [9 y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 y$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{9 y} (9 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.2.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{9 y}$ .

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{y} y'$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{y}$ und $g (x) = \sin (5 x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$e^{y} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$e^{y} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$e^{y} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{y} \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$e^{y} \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{y} \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (e^{y} \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) e^{y} y'$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y'}{y} = 5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = 5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Stelle die Faktoren in $5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$ um.

$y' = 5 y e^{y} \cos (5 x) + y' y e^{y} \sin (5 x)$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Stelle $5 y e^{y} \cos (5 x)$ und $y' y e^{y} \sin (5 x)$ um.

$y' = y' y e^{y} \sin (5 x) + 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y' y e^{y} \sin (5 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' - y' y e^{y} \sin (5 x)$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' y e^{y} \sin (5 x)$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x))$ heraus.

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Schritt 5.3.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ durch $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ durch $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ .

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ .

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Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$