Analysis Beispiele

$\ln (y) = x \ln (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{y} y'$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$1 + \ln (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x)$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = (1 + \ln (x)) y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(1 + \ln (x)) y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = 1 y + \ln (x) y$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y' = y + \ln (x) y$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Stelle die Faktoren in $y + \ln (x) y$ um.

$y' = y + y \ln (x)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y + y \ln (x)$