Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{\sin (x - 2)}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} \sin (x - 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 2} x - 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\sin (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sin (2 - 2)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{\sin (x - 2)}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x - 2$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $\cos (x - 2)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.10

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{2 x + 0}$

Schritt 1.3.11

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{2 x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{\cos (x - 2)}{x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} \cos (x - 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Schritt 2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 2} x - 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 - 1 \cdot 2)}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 - 2)}{2}$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{2}$

Schritt 4.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.25$