Analysis Beispiele

$y = - \frac{x}{y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $\frac{x}{y}$ mit $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ und $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y' y^{2} = - \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ in den Zähler.

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y' y^{2} = - (y - x y')$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' y^{2} = - y - (- x y')$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere $- (- x y')$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' y^{2} = - y + 1 (x y')$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y' y^{2} = - y + x y'$

Schritt 5.2.1.4

Stelle $x$ und $y'$ um.

$y' y^{2} = - y + y' x$

Schritt 5.2.1.5

Stelle $- y$ und $y' x$ um.

$y' y^{2} = y' x - y$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y' x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' y^{2} - y' x = - y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' y^{2} - y' x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' y^{2}$ heraus.

$y' (y^{2}) - y' x = - y$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' x$ heraus.

$y' (y^{2}) + y' (- 1 x) = - y$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (y^{2}) + y' (- 1 x)$ heraus.

$y' (y^{2} - 1 x) = - y$

Schritt 5.3.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y' (y^{2} - x) = - y$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (y^{2} - x) = - y$ durch $y^{2} - x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (y^{2} - x) = - y$ durch $y^{2} - x$ .

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{y^{2} - x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y^{2} - x}$