Analysis Beispiele

$y = {\cos (x)}^{x}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\cos (x)}^{x}$ als $e^{\ln ({\cos (x)}^{x})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{x})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\cos (x)}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (x))}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \ln (\cos (x))$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x \ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (x))]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (x))]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x \ln (\cos (x))$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (x))]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 7.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \cdot 1)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\ln (\cos (x))$ mit $1$ .

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x \ln (\cos (x))} (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + e^{x \ln (\cos (x))} \ln (\cos (x))$

Schritt 8.2

Entferne die Klammern.

$e^{x \ln (\cos (x))} x \sec (x) (- \sin (x)) + e^{x \ln (\cos (x))} \ln (\cos (x))$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$- e^{x \ln (\cos (x))} x \sec (x) \sin (x) + e^{x \ln (\cos (x))} \ln (\cos (x))$