Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{3} - \frac{3}{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{3} - \frac{3}{x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{3} - \frac{3}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{3} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{1}{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} - 3 (- x^{- 2})$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{3} + 3 x^{- 2}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{3}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{3}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{3}$