Analysis Beispiele

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 4 \cos (3 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \cos (3 x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$6 + 12 \sin (3 x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$