Analysis Beispiele

$\cos (2 x) + \sin (x) = 1$ , $[0, 2 π)$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (2 x) + \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $2 \sin^{2} (x)$ von $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- 2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{1} (x)$ heraus.

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1$ heraus.

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 5

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $- 2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $- 2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 6.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 6.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 6.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.6.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 6.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 9.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 9.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$π (0)$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$0$

Schritt 9.1.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $0$ .

$x = 0$

Schritt 9.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 9.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

Schritt 9.2.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Schritt 9.2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 9.2.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}$

Schritt 9.3

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 9.3.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Schritt 9.3.2

Vereinfache.

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Schritt 9.3.2.1

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 9.3.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Schritt 9.3.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Schritt 9.3.2.2

Addiere $\frac{5 π}{6}$ und $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Schritt 9.3.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{5 π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Schritt 9.4

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 9.4.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$π (1)$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 9.4.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $π$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, π$