Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + 5 x$ , $x = 4$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Schritt 1.1

Setze $4$ für $x$ ein.

$y = {(4)}^{2} + 5 (4)$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4^{2} + 5 (4)$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = {(4)}^{2} + 5 (4)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache ${(4)}^{2} + 5 (4)$ .

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = 16 + 5 (4)$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$y = 16 + 20$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $16$ und $20$ .

$y = 36$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 36$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$2 x + 5$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$2 (4) + 5$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 + 5$

Schritt 2.4.2

Addiere $8$ und $5$ .

$13$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $13$ und einen gegebenen Punkt $(4, 36)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (36) = 13 \cdot (x - (4))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 36 = 13 \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $13 \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 36 = 0 + 0 + 13 \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 36 = 13 \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 36 = 13 x + 13 \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $13$ mit $- 4$ .

$y - 36 = 13 x - 52$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 13 x - 52 + 36$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 52$ und $36$ .

$y = 13 x - 16$

Schritt 4