Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x + 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 1.1.3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 2$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x (x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4

Werte $\frac{x^{2}}{x + 1}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) + 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 4.1.2.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) + 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{4}{- 2 + 1}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\frac{4}{- 1}$

Schritt 4.2.2.3

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$- 4$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{(- 1) + 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{0}$

Schritt 4.3.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (- 2, - 4)$

Schritt 5