Analysis Beispiele

$y = 3 x^{2} + 4 x$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$6 x + 4$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x + 4 = 0$ .

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Schritt 3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = - 4$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 4$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 4$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{6}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ bei $x = - \frac{2}{3}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 4 (- \frac{2}{3})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + 4 (- \frac{2}{3})$

Schritt 4.2.1.7

Multipliziere $4 (- \frac{2}{3})$ .

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Schritt 4.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3})$

Schritt 4.2.1.7.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

Schritt 4.2.1.7.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3}$

Schritt 4.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 - 8}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.2.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 4}{3}$

Schritt 4.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ ist $y = - \frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{4}{3}$

Schritt 6