Analysis Beispiele

$y = 2 + 8 x - x^{2}$

Schritt 1

Vereinfache $2 + 8 x - x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Bewege $2$ .

$y = 8 x - x^{2} + 2$

Schritt 1.2

Stelle $8 x$ und $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + 8 x + 2$

Schritt 2

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 8 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$- 2 x + 8 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 x + 8 + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $- 2 x + 8$ und $0$ .

$- 2 x + 8$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x + 8 = 0$ .

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Schritt 4.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 8$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 8$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 8$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 2$ .

$x = 4$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$ bei $x = 4$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = - {(4)}^{2} + 8 (4) + 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 8 (4) + 2$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (4) = - 16 + 8 (4) + 2$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$f (4) = - 16 + 32 + 2$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 16$ und $32$ .

$f (4) = 16 + 2$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $16$ und $2$ .

$f (4) = 18$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $18$ .

$18$

Schritt 6

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$ ist $y = 18$ .

$y = 18$

Schritt 7