Analysis Beispiele

$y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $6 x^{2} + 6 x - 12$ und $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 x - 12$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 12$ heraus.

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

Schritt 3.1.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2}) + 6 x$ heraus.

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

Schritt 3.1.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ heraus.

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 3.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 3.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = 2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

Schritt 4.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 1$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 12 \cdot 1 + 1$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 12 + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $2$ und $3$ .

$f (1) = 5 - 12 + 1$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $12$ von $5$ .

$f (1) = - 7 + 1$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $- 7$ und $1$ .

$f (1) = - 6$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ bei $x = - 2$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$f (- 2) = - 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = - 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 + 1$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 12 - 12 \cdot - 2 + 1$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24 + 1$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 16$ und $12$ .

$f (- 2) = - 4 + 24 + 1$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 4$ und $24$ .

$f (- 2) = 20 + 1$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $20$ und $1$ .

$f (- 2) = 21$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $21$ .

$21$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ sind $y = - 6, y = 21$ .

$y = - 6, y = 21$

Schritt 7