Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 1.1.1
Differenziere.
Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2
Berechne .
Schritt 1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.3.2
Addiere und .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 2.4
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 2.4.1
Setze gleich .
Schritt 2.4.2
Löse nach auf.
Schritt 2.4.2.1
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 2.4.2.2
Vereinfache .
Schritt 2.4.2.2.1
Schreibe als um.
Schritt 2.4.2.2.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 2.4.2.2.3
Plus oder Minus ist .
Schritt 2.5
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 2.5.1
Setze gleich .
Schritt 2.5.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 3
Die Werte, die die Ableitung gleich machen, sind .
Schritt 4
Teile in separate Intervalle um die -Werte herum, sodass die Ableitung gleich oder nicht definiert ist.
Schritt 5
Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 5.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 5.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 5.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Bei ist die Ableitung . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall ab.
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 6
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 6.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 6.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 6.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 6.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.1.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.1.4.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.2.1.5
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 6.2.1.6
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.7
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.8
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 6.2.1.8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.2.1.8.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.1.8.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.2.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 6.2.3
Kombiniere und .
Schritt 6.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 6.2.5
Vereinfache den Zähler.
Schritt 6.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 6.2.7
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei ist die Ableitung . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall ab.
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 7
Schritt 7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 7.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 7.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 7.2.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 7.2.1.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.1.1.1.1
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.1.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 7.2.1.1.2
Addiere und .
Schritt 7.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 7.3
Bei ist die Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall an.
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 8
Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.
Ansteigend im Intervall:
Abfallend im Intervall:
Schritt 9