Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 32 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 32 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 32 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 32 (2 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 32$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 64 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 64 x$ .

$4 x^{3} - 64 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 64 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 64 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 64 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 64 x = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 64 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 16) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 16)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$4 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$4 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 4, 4$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, - 4, 4$ .

$0, - 4, 4$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f' (- 5) = 4 {(- 5)}^{3} - 64 \cdot - 5$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f' (- 5) = 4 \cdot - 125 - 64 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 125$ .

$f' (- 5) = - 500 - 64 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 5$ .

$f' (- 5) = - 500 + 320$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 500$ und $320$ .

$f' (- 5) = - 180$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 180$ .

$- 180$

Schritt 5.3

Bei $x = - 5$ ist die Ableitung $- 180$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 4, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 64 \cdot - 2$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 64 \cdot - 2$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 64 \cdot - 2$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 128$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 32$ und $128$ .

$f' (- 2) = 96$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $96$ .

$96$

Schritt 6.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $96$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 4, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 4, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 64 \cdot 2$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 64 \cdot 2$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f' (2) = 32 - 64 \cdot 2$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $2$ .

$f' (2) = 32 - 128$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $128$ von $32$ .

$f' (2) = - 96$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 96$ .

$- 96$

Schritt 7.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $- 96$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = 4 {(5)}^{3} - 64 \cdot 5$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f' (5) = 4 \cdot 125 - 64 \cdot 5$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $125$ .

$f' (5) = 500 - 64 \cdot 5$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $5$ .

$f' (5) = 500 - 320$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $320$ von $500$ .

$f' (5) = 180$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $180$ .

$180$

Schritt 8.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $180$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(4, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(4, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 4, 0), (4, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 4), (0, 4)$

Schritt 10