Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Schritt 1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Schritt 1.1.2.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{3} - 4 x$ .

$x^{3} - 4 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{3} - 4 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{3} - 4 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 4 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ heraus.

$x (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, - 2, 2$ .

$0, - 2, 2$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f' (- 3) = - 27 - 4 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$f' (- 3) = - 27 + 12$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 27$ und $12$ .

$f' (- 3) = - 15$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 15$ .

$- 15$

Schritt 5.3

Bei $x = - 3$ ist die Ableitung $- 15$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - 4 \cdot - 1$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 + 4$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$f' (- 1) = 3$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $3$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 2, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 2, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 1 - 4 \cdot 1$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f' (1) = 1 - 4$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (1) = - 3$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = {(3)}^{3} - 4 \cdot 3$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f' (3) = 27 - 4 \cdot 3$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $12$ von $27$ .

$f' (3) = 15$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $15$ .

$15$

Schritt 8.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $15$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 2, 0), (2, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 2), (0, 2)$

Schritt 10