Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} + 4 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} + 12 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$36 x^{2} + 12 (2 x)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $36 x^{2} + 24 x$ .

$36 x^{2} + 24 x$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $36 x^{2} + 24 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$36 x^{2} + 24 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $36 x^{2} + 24 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12 x$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$12 x (3 x) + 24 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $24 x$ heraus.

$12 x (3 x) + 12 x (2) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (3 x) + 12 x (2)$ heraus.

$12 x (3 x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 x (3 x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $- \frac{2}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Schritt 3.3.2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3})$

Schritt 3.3.2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}))$

Schritt 3.3.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{2^{3}}{3^{3}})$

Schritt 3.3.2.1.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{3^{3}})$

Schritt 3.3.2.1.10

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{27})$

Schritt 3.3.2.1.11

Multipliziere $4 (- \frac{8}{27})$ .

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Schritt 3.3.2.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27})$

Schritt 3.3.2.1.11.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27}$

Schritt 3.3.2.1.11.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27}$

Schritt 3.3.2.1.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27}$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16 - 32}{27}$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 16}{27}$

Schritt 3.3.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{16}{27}$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16}{27}$ .

$- \frac{16}{27}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{2}{3}$ in $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{2}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 {(- 0.7\overline{6})}^{2} + 24 (- 0.7\overline{6})$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.7\overline{6}$ mit $2$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} + 24 (- 0.7\overline{6})$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $0.58\overline{7}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 + 24 (- 0.7\overline{6})$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $18.4$ von $21.16$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 2.76$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.76$ .

$2.76$

Schritt 5.3

Bei $- 0.7\overline{6}$ ist die zweite Ableitung $2.76$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{2}{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{2}{3}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 24 (- 0.\overline{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.\overline{3}$ mit $2$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} + 24 (- 0.\overline{3})$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $0.\overline{1}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 + 24 (- 0.\overline{3})$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 - 8$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 4$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 6.3

Bei $- 0.\overline{3}$ , die zweite Ableitung ist $- 4$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \frac{2}{3}, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \frac{2}{3}, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = 36 {(0.1)}^{2} + 24 (0.1)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = 36 \cdot 0.01 + 24 (0.1)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 24 (0.1)$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 2.4$

Schritt 7.2.2

Addiere $0.36$ und $2.4$ .

$f'' (0.1) = 2.76$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.76$ .

$2.76$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $2.76$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$

Schritt 9