Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 4 x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $4 x^{2} - 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.1

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - x (8 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x \cdot x}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 1 - 8 x^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.7

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 1}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} - 1) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.2.7

Addiere $- 8 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(4 x^{2} - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 4 x^{2} - 1$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} - 1) (2 (4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere.

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Schritt 1.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x + 0))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.7.1

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) (8 x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.7.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $4 x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} - 1) (8 \cdot ((4 x^{2} - 1) x))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.7.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) - 16 (- 4 x^{2} - 1) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) ((4 x^{2} - 1) x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(4 x^{2} - 1)}^{2} (- 8 x) + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(4 x^{2} - 1)}^{2} x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.2

Schreibe ${(4 x^{2} - 1)}^{2}$ als $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 8 ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.3

Multipliziere $(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2} - 1) - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2} - 1)) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.3.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.5.3.1.4.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 (x^{2} x^{2})) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{2 + 2}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (4 \cdot (4 x^{4}) + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 1 - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 1 (4 x^{2}) - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.4.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (16 x^{4} - 8 x^{2} + 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 8 (16 x^{4}) - 8 (- 8 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} - 8 (- 8 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} + 64 x^{2} - 8 \cdot 1) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.6.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 128 x^{4} + 64 x^{2} - 8) x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{4} x + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 (x \cdot x^{4}) + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.2.5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 (x \cdot x^{4}) + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{1 + 4} + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{2} x - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{1 + 2} - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (- 16 (- 4 x^{2}) - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} - 16 \cdot - 1) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{2} x - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.10.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.10.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 (x \cdot x^{2}) - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{1 + 2} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.10.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - 1 x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.10.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + (64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.11

Multipliziere $(64 x^{2} + 16) (4 x^{3} - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3} - x) + 16 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3} - x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 x^{2} (4 x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.3.1.12.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.5.3.1.12.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.2.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 64 \cdot (4 x^{5}) + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.3

Mutltipliziere $64$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 x^{2} (- x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{2} x) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.5.3.1.12.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 64 \cdot (- 1 x^{3}) + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.6

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 16 (4 x^{3}) + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 64 x^{3} + 16 (- x)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 64 x^{3} + 64 x^{3} - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.2

Addiere $- 64 x^{3}$ und $64 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} + 0 - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.1.12.3

Addiere $256 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x + 256 x^{5} - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.2

Addiere $- 128 x^{5}$ und $256 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{5} + 64 x^{3} - 8 x - 16 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.3.3

Subtrahiere $16 x$ von $- 8 x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{5} + 64 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.4.1

Faktorisiere $8 x$ aus $128 x^{5} + 64 x^{3} - 24 x$ heraus.

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Schritt 1.2.5.4.1.1

Faktorisiere $8 x$ aus $128 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 64 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.1.2

Faktorisiere $8 x$ aus $64 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2}) - 24 x}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.1.3

Faktorisiere $8 x$ aus $- 24 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.1.4

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (16 x^{4}) + 8 x (8 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.1.5

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (16 x^{4} + 8 x^{2}) + 8 x (- 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (16 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x (16 {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + 8 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.5.4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 16 \cdot - 3 = - 48$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 1.2.5.4.4.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 u$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + 8 (u) - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.4.1.2

Schreibe $8$ um als $- 4$ plus $12$

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} + (- 4 + 12) u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{8 x (16 u^{2} - 4 u + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.5.4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = \frac{8 x ((16 u^{2} - 4 u) + 12 u - 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = \frac{8 x (4 u (4 u - 1) + 3 (4 u - 1))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((4 u - 1) (4 u + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((4 x^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.6

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x (({(2 x)}^{2} - 1) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x (({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (4 x^{2} + 3))}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.4.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.5.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{({(2 x)}^{2} - 1^{2})}^{4}}$

Schritt 1.2.5.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{((2 x + 1) (2 x - 1))}^{4}}$

Schritt 1.2.5.5.4

Wende die Produktregel auf $(2 x + 1) (2 x - 1)$ an.

$f'' (x) = \frac{8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x + 1$ und ${(2 x + 1)}^{4}$ .

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Schritt 1.2.5.6.1

Faktorisiere $2 x + 1$ aus $8 x (2 x + 1) (2 x - 1) (4 x^{2} + 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.6.2.1

Faktorisiere $2 x + 1$ aus ${(2 x + 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

Schritt 1.2.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(2 x + 1) ((8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3))}{(2 x + 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4})}$

Schritt 1.2.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x - 1$ und ${(2 x - 1)}^{4}$ .

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Schritt 1.2.5.7.1

Faktorisiere $2 x - 1$ aus $(8 x (2 x - 1)) (4 x^{2} + 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.7.2.1

Faktorisiere $2 x - 1$ aus ${(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

Schritt 1.2.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(2 x - 1) ((8 x) (4 x^{2} + 3))}{(2 x - 1) ({(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3})}$

Schritt 1.2.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(8 x) (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8 x (4 x^{2} + 3)}{{(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 x (4 x^{2} + 3) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $4 x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $4 x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$4 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse $4 x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = - 3$

Schritt 2.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Schritt 2.3.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Schritt 2.3.3.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

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Schritt 2.3.3.2.4.1

Schreibe $- \frac{3}{4}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.3.3.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Schritt 2.3.3.2.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $3$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Schritt 2.3.3.2.4.1.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 2.3.3.2.4.1.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Schritt 2.3.3.2.4.1.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Schritt 2.3.3.2.4.3

Kombiniere $\frac{i}{2}$ und $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.3.3.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.3.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.3.3.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.3.3.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $8 x (4 x^{2} + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4 {(0)}^{2} - 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4 \cdot 0 - 1}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

Schritt 3.1.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{x}{4 x^{2} - 1}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{8 (- 0.1) (4 {(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.8 (4 {(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 0.8$ mit $4 {(- 0.1)}^{2} + 3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{(2 (- 0.1) + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{(- 0.2 + 1)}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 0.2$ und $1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(2 (- 0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(- 0.2 - 1)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $- 0.2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{{0.8}^{3} {(- 1.2)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $0.8$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{0.512 {(- 1.2)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.6

Potenziere $- 1.2$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{0.512 \cdot - 1.728}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $0.512$ mit $- 1.728$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.432}{- 0.884736}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $- 2.432$ durch $- 0.884736$ .

$f'' (- 0.1) = 2.74884259$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $2.74884259$ .

$2.74884259$

Schritt 5.3

Bei $- 0.1$ ist die zweite Ableitung $2.74884259$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{8 (0.1) (4 {(0.1)}^{2} + 3)}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.8 (4 \cdot {0.1}^{2} + 3)}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $0.8$ mit $4 \cdot {0.1}^{2} + 3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{(2 (0.1) + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{(0.2 + 1)}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0.2$ und $1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(2 (0.1) - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(0.2 - 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $0.2$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{{1.2}^{3} {(- 0.8)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.5

Potenziere $1.2$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{1.728 {(- 0.8)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.6

Potenziere $- 0.8$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{1.728 \cdot - 0.512}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $1.728$ mit $- 0.512$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.432}{- 0.884736}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $2.432$ durch $- 0.884736$ .

$f'' (0.1) = - 2.74884259$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2.74884259$ .

$- 2.74884259$

Schritt 6.3

Bei $0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 2.74884259$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Schritt 8