Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ .

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Schritt 2.1.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.1.6.3.2.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Schritt 2.2.2

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 3)}^{2}$ mit $1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 3$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ heraus.

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Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus ${(x^{2} + 3)}^{2}$ heraus.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ heraus.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ heraus.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Schritt 2.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus ${(x^{2} + 3)}^{4}$ heraus.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$6 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.16

Kombiniere $6$ und $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.17

Vereinfache.

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Schritt 2.2.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.17.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.17.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.2.17.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 18 x^{2} + 18 = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 18 x^{2} = - 18$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 18 x^{2} = - 18$ durch $- 18$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 18 x^{2} = - 18$ durch $- 18$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 18$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{- 18}{- 18}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 18}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Dividiere $- 18$ durch $- 18$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 3.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 3.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $1$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{1}{1^{2} + 3}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{1}{1 + 3}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$f (1) = \frac{1}{4}$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ ermittelt werden kann, ist $(1, \frac{1}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1, \frac{1}{4})$

Schritt 4.3

Ersetze $- 1$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1 + 3}$

Schritt 4.3.2.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4}$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ ermittelt werden kann, ist $(- 1, \frac{1}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1, \frac{1}{4})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(1, \frac{1}{4}), (- 1, \frac{1}{4})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 {(- 1.1)}^{2} + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.1$ mit $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $- 21.78$ und $18$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{({(- 1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 1.1$ mit $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $1.21$ und $3$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $4.21$ mit $3$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

Schritt 6.2.3

Dividiere $- 3.78$ durch $74.618461$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.0506577$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.0506577$ .

$- 0.0506577$

Schritt 6.3

Bei $- 1.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.0506577$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 1)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.3

Addiere $0$ und $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{3^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{27}$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $27$ .

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Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{27}$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{2}{3}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 7.3

Bei $0$ ist die zweite Ableitung $0.\overline{6}$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 1, 1)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 1, 1)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 18 {(1.1)}^{2} + 18}{{({(1.1)}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $1.1$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 18 \cdot 1.21 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 21.78 + 18}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.3

Addiere $- 21.78$ und $18$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{({1.1}^{2} + 3)}^{3}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $1.1$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{(1.21 + 3)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $1.21$ und $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{{4.21}^{3}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $4.21$ mit $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 3.78}{74.618461}$

Schritt 8.2.3

Dividiere $- 3.78$ durch $74.618461$ .

$f'' (1.1) = - 0.0506577$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.0506577$ .

$- 0.0506577$

Schritt 8.3

Bei $1.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.0506577$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(1, \infty)$

Abfallend im Intervall $(1, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$ .

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Schritt 10