Analysis Beispiele

$- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

Schritt 1

Schreibe $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ als Funktion.

$f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $42 x^{5}$ nach $x$ gleich $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 x^{5} + 42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 6 x^{5} + 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $42$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 42 x$ nach $x$ gleich $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $- 42$ mit $1$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + \frac{d}{d x} [19]$

Schritt 2.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.5.1

Da $19$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $19$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + 0$

Schritt 2.1.5.2

Addiere $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ und $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{5}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$- 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $210$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $210 x^{4}$ nach $x$ gleich $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 30 x^{4} + 210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 30 x^{4} + 210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 42]$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $210$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 42]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.4.1

Da $- 42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 42$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 840 x^{3}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 30 x^{3}$ aus $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 30 x^{3}$ aus $- 30 x^{4}$ heraus.

$- 30 x^{3} x + 840 x^{3} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $- 30 x^{3}$ aus $840 x^{3}$ heraus.

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 28 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $- 30 x^{3}$ aus $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 28)$ heraus.

$- 30 x^{3} (x - 28) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 28 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 28$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 28$ gleich $0$ .

$x - 28 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $28$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 28$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 30 x^{3} (x - 28) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 28$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - {(0)}^{6} + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 42 \cdot 0 - 42 \cdot 0 + 19$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 42 \cdot 0 + 19$

Schritt 4.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 42$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 19$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 19$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 19$

Schritt 4.1.2.2.3

Addiere $0$ und $19$ .

$f (0) = 19$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $19$ .

$19$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ ermittelt werden kann, ist $(0, 19)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 19)$

Schritt 4.3

Ersetze $28$ in $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $28$ .

$f (28) = - {(28)}^{6} + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $28$ mit $6$ .

$f (28) = - 1 \cdot 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $481890304$ .

$f (28) = - 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Schritt 4.3.2.1.3

Potenziere $28$ mit $5$ .

$f (28) = - 481890304 + 42 \cdot 17210368 - 42 \cdot 28 + 19$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $17210368$ .

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 42 \cdot 28 + 19$

Schritt 4.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 42$ mit $28$ .

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 1176 + 19$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Addiere $- 481890304$ und $722835456$ .

$f (28) = 240945152 - 1176 + 19$

Schritt 4.3.2.2.2

Subtrahiere $1176$ von $240945152$ .

$f (28) = 240943976 + 19$

Schritt 4.3.2.2.3

Addiere $240943976$ und $19$ .

$f (28) = 240943995$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $240943995$ .

$240943995$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $28$ in $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ ermittelt werden kann, ist $(28, 240943995)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(28, 240943995)$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 19), (28, 240943995)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, 28) \cup (28, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.1$ mit $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 30$ mit $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 0.1$ mit $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 \cdot - 0.001$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $840$ mit $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.84$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $0.84$ von $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.843$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.843$ .

$- 0.843$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.843$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 28)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $14$ .

$f'' (14) = - 30 {(14)}^{4} + 840 {(14)}^{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $14$ mit $4$ .

$f'' (14) = - 30 \cdot 38416 + 840 {(14)}^{3}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 30$ mit $38416$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 840 {(14)}^{3}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $14$ mit $3$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 840 \cdot 2744$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $840$ mit $2744$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 2304960$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 1152480$ und $2304960$ .

$f'' (14) = 1152480$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $1152480$ .

$1152480$

Schritt 7.3

Bei $14$ ist die zweite Ableitung $1152480$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, 28)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, 28)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(28, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $28.1$ .

$f'' (28.1) = - 30 {(28.1)}^{4} + 840 {(28.1)}^{3}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $28.1$ mit $4$ .

$f'' (28.1) = - 30 \cdot 623483.9521 + 840 {(28.1)}^{3}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 30$ mit $623483.9521$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 {(28.1)}^{3}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $28.1$ mit $3$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 \cdot 22188.041$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $840$ mit $22188.041$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 18637954.44$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 18704518.563$ und $18637954.44$ .

$f'' (28.1) = - 66564.123$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 66564.123$ .

$- 66564.123$

Schritt 8.3

Bei $28.1$ , die zweite Ableitung ist $- 66564.123$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(28, \infty)$

Abfallend im Intervall $(28, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(0, 19), (28, 240943995)$ .

$(0, 19), (28, 240943995)$

Schritt 10