Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 7}$ als ${(x^{2} + 7)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 7$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 1.1.3.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- {(x^{2} + 7)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 7)}^{- 2} x$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Schritt 1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Schritt 1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}} x$

Schritt 1.1.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 7)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 7)}^{2}$ mit $1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{2}]}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 7$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - x (2 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{{(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus ${(x^{2} + 7)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ heraus.

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Schritt 1.2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus ${(x^{2} + 7)}^{2}$ heraus.

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) - 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus $- 2 x ((x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7])$ heraus.

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Schritt 1.2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7) + (x^{2} + 7) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))$ heraus.

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{{(x^{2} + 7)}^{4}}$

Schritt 1.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 7$ aus ${(x^{2} + 7)}^{4}$ heraus.

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \frac{(x^{2} + 7) (x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7]))}{(x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.9

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 \frac{x^{2} + 7 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{- 3 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18

Vereinfache.

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Schritt 1.2.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.18.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 7}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- \frac{- 6 x^{2} + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.3

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{2} + 14$ heraus.

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Schritt 1.2.18.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 14}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.3.2

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$- \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 x^{2}) + 2 (7)$ heraus.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.5

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (- 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- 7)$ heraus.

$- \frac{2 (- (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.7

Schreibe $- (3 x^{2} - 7)$ als $- 1 (3 x^{2} - 7)$ um.

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 7))}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.2.18.10

Mutltipliziere $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{{(x^{2} + 7)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (3 x^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} - 7) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{2} - 7)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} - 7$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 7 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$3 x^{2} - 7 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 7$

Schritt 2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{3}$

Schritt 2.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{3}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{7}{3}}$ als $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.3.5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3.5.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.3.5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.3.5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 3}}{3}$

Schritt 2.3.5.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 2.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 2.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 2.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{21}}{3}, - \frac{\sqrt{21}}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{\sqrt{21}}{3}$ in $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{21}}{3}$ an.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.2

Schreibe ${\sqrt{21}}^{2}$ als $21$ um.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{21}$ als $21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Schritt 3.1.2.1.5

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.6

Kombiniere $7$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.8.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Schritt 3.1.2.1.8.2

Addiere $7$ und $21$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{3}{28}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{\sqrt{21}}{3}$ in $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Schritt 3.3

Ersetze $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ in $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- \frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{21}}{3})}^{2} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{21}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{1 (\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}) + 7}$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{21}}^{2}$ als $21$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{21}$ als $21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{3^{2}} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{21}{9} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 (7)}{9} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7}$

Schritt 3.3.2.1.7

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.3.2.1.8

Kombiniere $7$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.3.2.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 7 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.3.2.1.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.10.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{7 + 21}{3}}$

Schritt 3.3.2.1.10.2

Addiere $7$ und $21$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{1}{\frac{28}{3}}$

Schritt 3.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = 1 (\frac{3}{28})$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{3}{28}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{21}}{3}) = \frac{3}{28}$

Schritt 3.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{28}$ .

$\frac{3}{28}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ in $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 7}$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.62752523$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 {(- 1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1.62752523$ mit $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2.64883837$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Subtrahiere $7$ von $7.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({(- 1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 1.62752523$ mit $2$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $2.64883837$ und $7$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $9.64883837$ mit $3$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.94651513$ .

$f'' (- 1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $1.89303027$ durch $898.30764509$ .

$f'' (- 1.62752523) = 0.00210732$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.00210732$ .

$0.00210732$

Schritt 5.3

Bei $- 1.62752523$ ist die zweite Ableitung $0.00210732$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{21}}{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 7)}{{({(0)}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 7)}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{{(0 + 7)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $7$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{7^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot - 7}{343}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$f'' (0) = \frac{- 14}{343}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $343$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $7$ aus $- 14$ heraus.

$f'' (0) = \frac{7 (- 2)}{343}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $343$ heraus.

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 49}$

Schritt 6.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = \frac{- 2}{49}$

Schritt 6.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = - \frac{2}{49}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{49}$ .

$- \frac{2}{49}$

Schritt 6.3

Bei $0$ , die zweite Ableitung ist $- 0.04081632$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$

Abfallend im Intervall $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{\sqrt{21}}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.62752523$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 {(1.62752523)}^{2} - 7)}{{({(1.62752523)}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.62752523$ mit $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (3 \cdot 2.64883837 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2.64883837$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 (7.94651513 - 7)}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.3

Subtrahiere $7$ von $7.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{({1.62752523}^{2} + 7)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Potenziere $1.62752523$ mit $2$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{(2.64883837 + 7)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $2.64883837$ und $7$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{{9.64883837}^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $9.64883837$ mit $3$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{2 \cdot 0.94651513}{898.30764509}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.94651513$ .

$f'' (1.62752523) = \frac{1.89303027}{898.30764509}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $1.89303027$ durch $898.30764509$ .

$f'' (1.62752523) = 0.00210732$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.00210732$ .

$0.00210732$

Schritt 7.3

Bei $1.62752523$ ist die zweite Ableitung $0.00210732$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$ .

$(- \frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28}), (\frac{\sqrt{21}}{3}, \frac{3}{28})$

Schritt 9