Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 6 x^{3} + 2 x + 8$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 6 x^{3} + 2 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 2 + 0$

Schritt 1.1.1.4.2

Addiere $4 x^{3} - 18 x^{2} + 2$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 2$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 18 x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 1.1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 1.1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 18$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 x + 0$

Schritt 1.1.2.4.2

Addiere $12 x^{2} - 36 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 x$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 36 x$ .

$12 x^{2} - 36 x$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 36 x = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 36 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{2} - 36 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 x (x) - 36 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $12 x$ aus $- 36 x$ heraus.

$12 x (x) + 12 x (- 3) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $12 x$ aus $12 x (x) + 12 x (- 3)$ heraus.

$12 x (x - 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 x (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 36 \cdot - 2$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$f'' (- 2) = 48 - 36 \cdot - 2$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 + 72$

Schritt 4.2.2

Addiere $48$ und $72$ .

$f'' (- 2) = 120$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $120$ .

$120$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 0)$ konvex, weil $f'' (- 2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 3)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 36 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$f'' (2) = 48 - 36 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $2$ .

$f'' (2) = 48 - 72$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $72$ von $48$ .

$f'' (2) = - 24$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 24$ .

$- 24$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 3)$ konkav, weil $f'' (2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f'' (6) = 12 {(6)}^{2} - 36 \cdot 6$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = 12 \cdot 36 - 36 \cdot 6$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $36$ .

$f'' (6) = 432 - 36 \cdot 6$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $6$ .

$f'' (6) = 432 - 216$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $216$ von $432$ .

$f'' (6) = 216$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $216$ .

$216$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(3, \infty)$ konvex, weil $f'' (6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(0, 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8