Analysis Beispiele

$y = x - \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = x - \sin (x)$ als Funktion.

$f (x) = x - \sin (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 2.2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$0 + \sin (x)$

Schritt 2.2.3

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\sin (x) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.5

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Der Punkt, der durch Einsetzen von in $f (x) = x - \sin (x)$ ermittelt werden kann, ist $(,)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(,)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty,)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $\sin (- 0.1)$ .

$\sin (- 0.1)$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.09983341$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty,)$

Abfallend im Intervall $(- \infty,)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $\sin (0.1)$ .

$\sin (0.1)$

Schritt 7.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $0.09983341$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(,)$ .

$(,)$

Schritt 9