Analysis Beispiele

Bestimme die Konkavität f(x)=x^(1/3)(x+4)
Schritt 1
Find the values where the second derivative is equal to .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.1.2.4
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.4.1
Addiere und .
Schritt 1.1.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.2.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.1.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.1.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.1.7
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.1.8
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.9
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.1.10
Vereinfache.
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Schritt 1.1.1.10.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.1.10.2
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.10.2.1
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.10.2.2
Bringe in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.1.10.2.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.10.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.10.2.3.1.1
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.10.2.3.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.1.10.2.3.2
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.1.10.2.3.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.1.10.2.3.4
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.1.10.2.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.10.2.5
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.1.10.2.6
Kombiniere und .
Schritt 1.1.1.10.2.7
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.1.10.2.8
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.1.10.2.9
Addiere und .
Schritt 1.1.2
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.2.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.2.2.4
Kombiniere und .
Schritt 1.1.2.2.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.2.2.6
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.2.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.2.2.7
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.2.2.8
Kombiniere und .
Schritt 1.1.2.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.2.11
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.2.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.3.2
Schreibe als um.
Schritt 1.1.2.3.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.3.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.2.3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.2.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3.5
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.3.5.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.1.2.3.5.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.3.5.2.1
Kombiniere und .
Schritt 1.1.2.3.5.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.3.5.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.2.3.6
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.2.3.7
Kombiniere und .
Schritt 1.1.2.3.8
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.2.3.9
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.3.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.3.9.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.2.3.10
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.2.3.11
Kombiniere und .
Schritt 1.1.2.3.12
Kombiniere und .
Schritt 1.1.2.3.13
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.3.13.1
Bewege .
Schritt 1.1.2.3.13.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.2.3.13.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.2.3.13.4
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.2.3.13.5
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.2.3.14
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.2.3.15
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.3.16
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.3.17
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3
Die zweite Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die zweite Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Setze die zweite Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.
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Schritt 1.2.2.1
Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.
Schritt 1.2.2.2
Since contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part then find LCM for the variable part .
Schritt 1.2.2.3
Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.
1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.
2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.
Schritt 1.2.2.4
hat Faktoren von und .
Schritt 1.2.2.5
Die Zahl ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.
Nicht prim
Schritt 1.2.2.6
Das kgV von ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.
Schritt 1.2.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.2.8
Das kgV von ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.
Schritt 1.2.2.9
Das kgV von ist der numerische Teil multipliziert mit dem variablen Teil.
Schritt 1.2.3
Multipliziere jeden Term in mit um die Brüche zu eliminieren.
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Schritt 1.2.3.1
Multipliziere jeden Term in mit .
Schritt 1.2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.2.3.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.3.2.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3.2.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.3.2.1.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.1.3.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3.2.1.4
Dividiere durch .
Schritt 1.2.3.2.1.5
Vereinfache.
Schritt 1.2.3.2.1.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1.6.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 1.2.3.2.1.6.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.1.6.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.3.1
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.3.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.3.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4
Löse die Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.4.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.4.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.4.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.4.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.4.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.4.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 2
Bestimme den Definitionsbereich von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 2.1.2
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 2.2
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Schritt 3
Erzeuge Intervalle um die -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.
Schritt 4
Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.
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Schritt 4.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 4.2
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1
Schreibe als um.
Schritt 4.2.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.4
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.4.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.4.3
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Schritt 4.5
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Schritt 4.6
Der Graph ist im Intervall konvex, weil positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Schritt 5
Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1.1
Bringe in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 5.2.1.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.2.1.2.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.2.1.2.2
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 5.2.1.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 5.2.1.2.4
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Der Graph ist im Intervall konvex, weil positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Schritt 6
Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Schritt 7