Analysis Beispiele

Bestimme die Konkavität f(x)=(x^2)/(x^2+3)
Schritt 1
Find the values where the second derivative is equal to .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.1
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 1.1.1.2.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.2.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.1.2.6
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.2.6.1
Addiere und .
Schritt 1.1.1.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.3
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.1.5
Addiere und .
Schritt 1.1.1.6
Vereinfache.
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Schritt 1.1.1.6.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.1.6.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.1.6.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.6.3.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.1.1.6.3.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 1.1.1.6.3.1.1.1
Bewege .
Schritt 1.1.1.6.3.1.1.2
Mutltipliziere mit .
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Schritt 1.1.1.6.3.1.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.1.1.6.3.1.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.1.6.3.1.1.3
Addiere und .
Schritt 1.1.1.6.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.1.6.3.2
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 1.1.1.6.3.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.1.6.3.2.2
Addiere und .
Schritt 1.1.2
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.1.2.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.
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Schritt 1.1.2.3.1
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 1.1.2.3.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.1.2.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.4
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.1.2.4.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.2.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.4.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.2.5
Vereinfache durch Herausfaktorisieren.
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Schritt 1.1.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.5.2
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 1.1.2.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.2.5.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.2.5.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.2.6
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 1.1.2.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.1.2.6.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.1.2.6.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.1.2.7
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.2.10
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 1.1.2.10.1
Addiere und .
Schritt 1.1.2.10.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.11
Potenziere mit .
Schritt 1.1.2.12
Potenziere mit .
Schritt 1.1.2.13
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.1.2.14
Addiere und .
Schritt 1.1.2.15
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.2.16
Kombiniere und .
Schritt 1.1.2.17
Vereinfache.
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Schritt 1.1.2.17.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.1.2.17.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.17.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.17.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3
Die zweite Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Setze die zweite Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 1.2.1
Setze die zweite Ableitung gleich .
Schritt 1.2.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 1.2.3
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 1.2.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.2.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.2.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 1.2.3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.2.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.2.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 1.2.3.4
Jede Wurzel von ist .
Schritt 1.2.3.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 1.2.3.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 1.2.3.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 1.2.3.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 2
Bestimme den Definitionsbereich von .
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Schritt 2.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 2.2
Löse nach auf.
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Schritt 2.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 2.2.3
Vereinfache .
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Schritt 2.2.3.1
Schreibe als um.
Schritt 2.2.3.2
Schreibe als um.
Schritt 2.2.3.3
Schreibe als um.
Schritt 2.2.4
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.4.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 2.2.4.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 2.2.4.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 2.3
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Intervallschreibweise:
Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:
Schritt 3
Erzeuge Intervalle um die -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.
Schritt 4
Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.
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Schritt 4.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 4.2
Vereinfache das Ergebnis.
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Schritt 4.2.1
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 4.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.3
Addiere und .
Schritt 4.2.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.2
Addiere und .
Schritt 4.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 4.2.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 4.3
Der Graph ist im Intervall konkav, weil negativ ist.
Konkav im Intervall , da negativ ist
Konkav im Intervall , da negativ ist
Schritt 5
Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.
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Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 5.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.3
Addiere und .
Schritt 5.2.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 5.2.2.2
Addiere und .
Schritt 5.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 5.2.3
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.3.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.2.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.2.3.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Der Graph ist im Intervall konvex, weil positiv ist.
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Schritt 6
Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.1.3
Addiere und .
Schritt 6.2.2
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.2.2
Addiere und .
Schritt 6.2.2.3
Potenziere mit .
Schritt 6.2.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 6.2.4
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Der Graph ist im Intervall konkav, weil negativ ist.
Konkav im Intervall , da negativ ist
Konkav im Intervall , da negativ ist
Schritt 7
Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.
Konkav im Intervall , da negativ ist
Konvex im Intervall , da positiv ist
Konkav im Intervall , da negativ ist
Schritt 8