Analysis Beispiele

$\int \frac{x - 3}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x - 3) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 3) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (x - 3) x^{- 3} d x$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 3) x^{- 3}$ .

$\int x \cdot x^{- 3} - 3 x^{- 3} d x$

Schritt 3

Multipliziere $x$ mit $x^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 3}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{- 3} - 3 x^{- 3} d x$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 - 3} - 3 x^{- 3} d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int x^{- 2} - 3 x^{- 3} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{- 2} d x + \int - 3 x^{- 3} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - 3 x^{- 3} d x$

Schritt 6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- x^{- 1} + C - 3 \int x^{- 3} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1} + C - 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1} + C - 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 8.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{x} - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- \frac{1}{x} + 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 x^{2}} + C$